2023 Autor: Jake Johnson | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-05-24 23:12
Dobra ilustracija primenljivosti supersimetričnog formalizma povezanog sa vibracionom metodom dobijena je proučavanjem Lennard-Jonesovog potencijala.
Ovaj potencijal daje:
Gdje je De energija disocijacije, a re je ravnotežna međunuklearna udaljenost.
Sa malo algebarske manipulacije moguće je shvatiti da se radijalna Schrödingerova jednačina za potencijal predstavljene jednačine može opisati na sljedeći način:
Gdje
odgovara terminu potencijalne barijere
x=
λ=
y ε=
Dakle, Hamiltonijan za Lennard-Jonesov potencijal je dat sa:
Tačno analitičko rješenje Schrödingerove jednadžbe za ovu vrstu potencijala ne može se odrediti. U međuvremenu, može se pronaći superpotencijal koji pruža efikasan potencijal sličan originalnom i odgovarajuću svojstvenu funkciju za varijacioni metod. Predloženi superpotencijal u ovom slučaju ima oblik:
Ovosugestija se može razumjeti gledanjem potencijala koji je generirao prethodni superpotencijal, sa ovom strukturom je zagarantovano da su pojmovi proporcionalni x -12, x -6i x -2 pojavljuju se u efektivnom potencijalu. U stvari, ovaj superpotencijal generiše sledeći efektivni potencijal kroz izraz:
Svojstvena funkcija se dobija pomoću druge jednačine i može se napisati kao:
Gdje h preuzima ulogu varijacionog parametra
Upoređivanje proporcionalnih uslova sa 1/x12 i 1/x6 u prethodnim jednadžbama, sa onima izvornog potencijala, sadržanim u Hamiltonijanu, moguće je fiksirati vrijednosti za konstante A i B. U ovom slučaju imamo da je A=B=
Svojstvena vrijednost energije se dobija minimiziranjem jednačine u odnosu na varijacioni parametar h. Eksplicitno, jednačina koju treba minimizirati je data sa:
Rezultati minimizacije energije prikazani su u tabelama 1 i 2.
Tabela 1 prikazuje rezultate za l=0 sa različitim vrijednostima λ, dok tabela 2 prikazuje vrijednosti dobijene za λ, fiksno (10000), varirajući vrijednosti l. Rezultati se upoređuju sa vrijednostima koje se nalaze u literaturi.
Tabela 1: Numerički rezultati za energiju osnovnog stanja Lennard-Jonesovog potencijala za različite vrijednosti λ zal fiksno. Ev predstavlja vrijednosti dobijene varijacionom metodom koja je povezana sa super-simetrijom, a EWKB su vrijednosti koje se nalaze kroz WKBmetoda
Tabela 2: Numerički rezultati za Lennard-Jones potencijal za različite vrijednosti l i za λ=10000 (fiksno). Ev predstavlja vrijednosti dobijene varijacionom metodom povezanom sa super-simetrijom, a EWKB su vrijednosti koje se nalaze pomoću WKB metode.
Rezultati predstavljeni u tabelama pokazuju da su pronađene vrijednosti varijacije ekvivalentne onima koje je dobio WKB. Tabela 1 pokazuje, sa izuzetkom prvog rezultata, rezultati se poklapaju do 5. decimale. Sve vrijednosti u tabeli 2 se praktično poklapaju.
Grafičko poređenje između originalnih potencijala Lennard Jonesa plus termina efektivne potencijalne barijere, pokazuje sličnost između dvije krive.
Primjer ovog poređenja je prikazan na sljedećoj slici:
Slika: Poređenje između originalne Lennard-Jones potencijalne krive, V(x) je predloženi efektivni potencijal V ef (x). Korišteni parametri su λ=100, A=10, B=10 i h=3, 61.
