Ljudska bića su kroz istoriju uvek imala potrebu da broje, izražavaju komercijalne operacije i rešavaju druge probleme koji su se pojavili u razvoju matematike. Analizirat ćemo evoluciju različitih skupova, na način da svaki od njih bude sadržan u sljedećem.
Pod tehnikama brojanja podrazumijevamo bilo koji algoritam koji se koristi za brojanje, odnosno pronalaženje kardinala skupa. U okviru tehnika brojanja, kombinatorika zaslužuje poseban tretman: varijacije, permutacije i kombinacije; iako se time nećemo baviti u ovoj temi jer su već tretirani.
U ovom postu ćemo proučiti jednu od najvažnijih primjena derivacija: jednadžbu tangente i normalne linije; kao i razne aplikacije koje možemo pronaći. Počećemo sa tumačenjem izvedenice, a zatim sa tri vrste vežbi koje možemo pronaći: Geometrijska interpretacija izvedenice:
UVOD Jules Henri Poincaré je bio francuski matematičar iz 19. veka koji se istakao ne samo po svom matematičkom radu već i po svom radu kao fizičar, teoretičar i filozof. Među njegovim najvažnijim radovima iz fizike ističu se oni koji se odnose na teoriju svjetlosti i elektromagnetnih valova.
Danas ćemo proučavati još jedno svojstvo funkcija (i/ili serije kao što ćemo kasnije vidjeti). Prvo ćemo proučiti kada kažemo da je funkcija ograničena iznad, a kada je ograničena odozdo, da bismo konačno mogli utvrditi kada je funkcija ograničena.
Zbog činjenice da su prirodni brojevi beskonačni, potrebno je tražiti skup riječi, simbola i pravila koji nam omogućavaju da odredimo prirodne brojeve i obrnuto; dok ste u mogućnosti da radite sa njima. U ovom postu ćemo definisati sisteme numerisanja, njihova svojstva i neke od najčešćih, kao što je onaj koji koristimo:
Danas ćemo raditi sa zabavnom vježbom koja se može raditi na svim nivoima mijenjajući njenu složenost: magični kvadrati. magični kvadrati su tabele, ili bolje rečeno, mreže sa celim brojevima na takav način da je zbir cifara redova i kolona, kao i zbir glavna dijagonala je uvijek ista veličina, nazvana magična konstanta.
Algebarski jezik je način prevođenja u simbole i brojeve onoga što obično smatramo određenim izrazima. Na ovaj način, nepoznatim količinama se može manipulirati pomoću simbola koji se lako pišu, što omogućava pojednostavljenje teorema , formulisanje jednadžbine i nejednačine i proučavanje kako se riješi ih.
Jučer smo radili studiju geometrijskih tijela. Danas ćemo nastaviti to proučavanje, ali u ovom slučaju nekih posebnih geometrijskih tijela, okruglih tijela. Okrugla tijela su geometrijske figure koje imaju barem jedno zakrivljeno lice. Poznata su i pod nazivom tijela okretanja jer se sva dobivaju okretanjem figure oko ose.
Već znamo kako da uradimo studiju slučajne varijable u zavisnosti od tipa u pitanju, videli smo kako da napravimo tabelu frekvencija i kako da izračunamo mere položaja i disperzije. Danas ćemo se fokusirati na različite načine na koje moramo da predstavimo podatke prikupljene u tabelama učestalosti, što će zavisiti od tipa varijable sa kojom radimo.
Razlomak ili lomljenje je podjela nečega na dijelove. Ako uzmemo razlomak 2/4 kao primjer, on se čita kao dvije četvrtine, a ono što radi je označavanje dva dijela preko četiri ukupna dijela. Tada možemo vidjeti da ono što ovom razlomku daje ime jeste broj ispod kojeg nazivamo imenilac jer razlomak "
U oblasti matematike, razlomak ili razlomak je podjela nečega na dijelove. Ako uzmemo razlomak ¾ kao primjer, on se čita kao tri četvrtine, a ono što radi je označavanje tri dijela preko četiri zbroja. Ovdje možemo vidjeti da ono što ovom razlomku daje ime je donji broj koji zovemo imenilac jer razlomak nazivamo "
Nakon dugog, jako dugog ljeta, potrebno je vratiti se rutini. Osvrćemo se na matematiku i danas moramo proučavati karakteristike geometrijskih tijela, odnosno broj lica, vrhova, osa simetrije itd. Prvo ćemo početi s kockom: CUBE: 2. Tip figure:
Kombinatornom analizom označavamo onaj dio algebre koji se bavi proučavanjem grupa koje su formirane sa datim elementima, koji se međusobno razlikuju po broju elemenata koji su ugrađeni u svaku grupu, po vrsti elemenata i po redoslijedu njihovog postavljanja.
Kao što već znamo, kombinatorika je dio algebre koji se bavi proučavanjem grupa koje se mogu formirati sa određenim elementima, praveći razliku između njih po broju elemenata, njihovom tipu i njihovom redoslijedu. Formirane grupe mogu biti varijacije, permutacije ili kombinacije.
Zračenje je definisano kao inverzna operacija potenciranja. Snaga je matematički izraz koji uključuje dva imenovana pojma: bazu a i eksponent n. Piše se kako slijedi: Čita se kao, “a podignuto na n” Da bismo bolje razumjeli definiciju poravnanja, pretpostavimo da nam je dat broj a i zatraženo je da izračunamo drugi, takav da pomnožen sam sa sobom broj b puta daje nam broj a.
Kombinatorika je grana matematike koja se bavi proučavanjem konačnih skupova objekata koji zadovoljavaju specifične kriterije i koja se posebno bavi prebrojavanjem objekata u takvim skupovima. Drugim riječima, to je dio algebre koji je odgovoran za proučavanje grupa koje se formiraju, praveći razliku između njih po broju elemenata koji čine svaku grupu, tipu ovih elemenata i njihovom redoslijedu.
Nakon što su prikupljeni uzorci podataka koje ćemo proučavati, potrebno ih je grupisati tako što ćete ih poredati u obliku tabele, ova tabela se zove distribucija frekvencija ilitabela frekvencija. U ovom odeljku ćemo se fokusirati na tabele učestalosti za jednodimenzionalne slučajne varijable (kasnije ćemo proučavati dvodimenzionalne slučajne varijable).
Nazvat ćemo kombinovane operacije one za koje se čini da se rješavaju nekoliko aritmetičkih operacija. Da biste dobili ispravan rezultat, potrebno je pridržavati se nekih pravila i uzeti u obzir prioritet između operacija. Na prvom mjestu, sadašnji pojmovi moraju biti razdvojeni kako bi se svaki od njih kasnije mogao riješiti.
DEFINICIJA Neka je f kontinuirana funkcija definirana u domeni A, izvod funkcije f je definiran u tački a skupa A i označen je sa f´(a), kada je sljedeća granična vrijednost: Ako nazovemo h=x-a, definiciju možemo napisati i na sljedeći način:
trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uključuju trigonometrijske funkcije. Ovi identiteti su uvijek korisni kada trebamo pojednostaviti izraze koji imaju uključene trigonometrijske funkcije, bez obzira na vrijednosti koje su dodijeljene uglovima za koje su ti omjeri definirani.
Da bismo izvršili statističku studiju karakteristike koju želimo proučavati u određenoj populaciji, potrebno je analizirati uzorak navedene populacije iz kojeg možemo dobiti specifične brojeve koji nam omogućavaju analizu prikupljenih podaci.
Proučićemo novi koncept matematičke analize: kompozitnu funkciju. Složena funkcija je funkcija koja je formirana kompozicijom dvije funkcije, to jest, funkcija koja je rezultat primjene funkcije na x prvo, a zatim primjene nove funkcije na ovaj rezultat.
U današnjem članku vraćamo se na granu statistike kako bismo razgovarali o jednoj od najvažnijih diskretnih distribucija: Poissonovoj distribuciji. Ova distribucija se koristi u situacijama kada želite da odredite broj događaja određenog tipa koji se dešavaju u datom prostoru ili vremenskom intervalu.
Danas ćemo proučiti jedan od tri najpoznatija problema antike: kvadraturu kruga,zapravo se smatra nemogućim problemom, i na kraju iz 19. stoljeća matematičar Ferdinand Lindemann pokazao je da je problem nerješiv zbog transcendentalnog karaktera broja pi.
U današnjem članku ćemo proučavati reprezentaciju kvadratnih funkcija , odnosno jednačine drugog stepena. Imajući na umu da grafovi jednačina drugog stepena odgovaraju parabolama, u ovom postu ćemo proučiti karakteristične elemente ovih. PERFORMANCE Počećemo sa prvim koracima koje ćemo uzeti u obzir da izvršimo reprezentaciju kvadratne funkcije, koja kao što znamo ima oblik:
Nakon što vidimo relativne položaje dva kruga, danas ćemo proučavati uglove kruga. Centralni ugao: To je ugao koji ima vrh u centru obima, odnosno ugao određen sa dve zrake koje imaju ishodište u centru, i prema tome su poluprečniki obima.
Nije sve u matematici brojevi, teoreme, dokazi, kalkulacije… i još mnogo beskrajnih stvari koje zvuče jednako dosadno (iako za mene nisu). Danas ćemo otkriti književnu stranu velikog perzijskog matematičara koji je rođen u 11. vijeku: Omar Jayyam.
Kada smo vidjeli metode koje postoje za rješavanje sistema linearnih jednačina, također ćemo proučiti kako riješiti neke od nelinearnih sistema koristeći ove metode. Vrlo je važno odabrati pravi metod, inače bi njegovo rješavanje moglo biti jako teško, teško i stoga lako napraviti greške.
U prethodnim prilikama proučavali smo neke od karakteristika kruga, kao što su dodirne tačke, odnosno relativni položaj kružnice i prave. Ali sada je došlo vrijeme da proučimo više o geometriji kruga. Za početak ćemo vidjeti neke prethodne formalne definicije:
Danas ćemo proučavati različite metode za rješavanje sistema linearnih jednačina sa dvije nepoznate. Sistemi linearnih jednadžbi su oblika: gdje su a, b, c, a´, b´i c´ realni brojevi. Da biste riješili ovaj tip sistema jednačina, odnosno pronađite vrijednost x i y koja zadovoljava obje jednačine;
Kada smo vidjeli kompozitnu funkciju, proučavat ćemo i inverznu funkciju. Pošto smo to već spomenuli u svojstvima složenih funkcija. Ovom prilikom ćemo proučiti proces dobijanja inverzne funkcije, kao i vidjeti neke od najvažnijih primjera inverznih funkcija i kako su one predstavljene.
Glavni matematičar koji se smatra prethodnikom teorije skupova je George Cantor, njemački matematičar koji je živio između 1845. i 1918. Teorija skupova je grana matematike koja, kao što joj ime govori, proučava svojstva skupova. Skup je, prema Cantorovim riječima, kolekcija objekata koji su jasno određeni i diferencirani kako kada ih promišljamo, tako i u našem razmišljanju, ova zbirka objekata čini cjelinu.
Kopaćemo malo dublje u Teoriju brojeva, predstavljajući novi koncept koji je u isto vreme svima dobro poznat: prosti brojevi. Ne znamo tačno u kojoj godini su se pojavili prosti brojevi, ali prije više od 20.000 godina (što se uskoro kaže) čini se da su radili s njima ili ih barem poznavali, zbog tragovi pronađeni u kosti.
Nastavljamo rad na Teoriji brojeva, danas su na redu Diofantove jednadžbe , koje su, kako im ime govori, zaslužne za Diofant, starogrčki matematičar čiji je rad bio od velikog značaja i uticaja na kasnije generacije. Problemi koje je Diofant tretirao bavili su se čisto numeričkim aspektima u kojima intervenišu svojstva celih brojeva.
Kao što smo spomenuli u prethodnim člancima, jedna od najvažnijih aplikacija u matematici je rješavanje problema optimizacije. Ali šta podrazumijevamo pod problemima optimizacije? Kako ih možemo riješiti? Ne brinite, jer će ove i druge vaše nedoumice biti riješene ako nastavite čitati.
Već smo radili više puta sa matricama i zapravo smo govorili io rangu matrice; ali šta podrazumevamo pod rangom matrice? I kako to možemo izračunati? Ovo su pitanja na koja ćemo odgovoriti u ovom postu. Počećemo tako što ćemo prvo dati definiciju, a zatim ćemo pogledati dve metode za pronalaženje ranga matrice:
linearno programiranje je metoda za rješavanje problema optimizacije koji su podložni nizu uslova ili ograničenja, koja su data nizom nejednakosti. Da bi se izvršilo rješenje ove vrste problema, potrebno je ova ograničenja predstaviti u ravni, što će dovesti do izvedive regije , tj.
Jedna od najvažnijih karakteristika prilikom izrade grafičkog prikaza funkcije je proučavanje njene monotonije, odnosno gdje se naša funkcija povećava i smanjuje. Kao i određivanje maksimuma i/ili minimuma u slučaju da ih je imala. Također, ako još uvijek sumnjamo u reprezentaciju, možemo također proučiti njegovu zakrivljenost i točke pregiba.
Tales iz Mileta (630 pne – 545 pne) bio je jedan od najpoznatijih grčkih filozofa, ali ne samo da se ističe po tome, već kao i svi mudraci toga vremena, takođe se istakao kao naučnik i matematičar, gde su njegovi doprinosi geometriji veoma važni, a jedan od tih doprinosa je i onaj na koji ćemo se fokusirati, dobro poznata “Thalesova teorema”.